Везение и невезение: тонкая грань математического ожидания

Удача часто играет большую роль в процессе размещения ставок. Иногда везение может стать залогом нашего успеха, а невезение – причиной поражения. Важно понимать роль фактора везения в процессе размещения ставок. Но насколько тонка грань между везением и невезением?

Случайность играет важную роль в процессе размещения ставок на спорт. Почти всегда те, кто выигрывают, обязаны своим успехом везению, но букмекерская маржа и закон больших чисел в конце концов почти всегда сводят этот успех на нет. Тем из вас, кто читает мои статьи на протяжении многих лет, известно о моей бескомпромиссности там, где речь идет о вероятности получения долгосрочной прибыли делающими ставки игроками. Я не рассчитываю, что вы обязательно согласитесь с моим мнением, поскольку оно является основой конфликта между надеждой и реальностью, с которым сталкивается любой игрок.

Вот почему многие статьи раздела нашего блога или гида по ставкам носят образовательный характер и призваны помочь игрокам в приобретении опыта прогнозирования. Тем не менее правила вероятности применимы даже к тем немногим, кому удается вычислить выгодное долгосрочное математическое ожидание. В этой статье я более подробно расскажу о том, как это происходит. В частности, я проиллюстрирую, насколько тонка грань между везением и невезением.

Классический пример с подбрасыванием монеты

Всем нам известно, что при подбрасывании монеты вероятность выпадения «орла» или «решки» составляет 50 на 50. Мы также знаем, что если подбросить монету 20 раз, то нет гарантии, что она упадет десять раз «орлом» и десять раз «решкой», хоть это и наиболее вероятный результат. Иногда выпадает 12 «орлов» и восемь «решек», а иногда наоборот. Очень редко возможен результат пять «орлов» и 15 «решек». Для того чтобы точно определить вероятность каждого возможного результата, можно использовать биномиальное распределение. Для 20 подбрасываний монеты оно будет выглядеть следующим образом.

В большинстве случаев диапазон вероятных результатов варьируется от пяти «орлов» и 15 «решек» до 15 «орлов» и пяти «решек». Что же будет в случае 100 подбрасываний монеты? Распределение будет выглядеть следующим образом.

В этот раз диапазон вероятных результатов шире. Если представить результат наглядно, то для 20 подбрасываний монеты распределение значений будет находиться в пределах от пяти до 15 «орлов» (разница равна десяти). Для 100 подбрасываний монеты этот диапазон увеличится примерно в два раза и составит от 40 до 60 «орлов». Означает ли это, что по мере увеличения размера выборки данных о подбрасывании монеты, диапазон возможных результатов также увеличивается? Да и нет.

Когда математик Якоб Бернулли экспериментировал с таким сценарием, он заметил, что, хотя абсолютная численная разница между количеством «орлов» и «решек» может увеличиваться с увеличением размера выборки, процентное количество «орлов» приближается к отметке 50 %. Пять «орлов» из 20 – это 25 %; 40 из 100, однако, составляет 40 %. Это второе объяснение, определяющее основу закона больших чисел, очень важно для понимания игроками правил вероятности. 

Среднеквадратическое отклонение для биномиального распределения

Измерить диапазон или дисперсию в распределении можно с помощью среднеквадратического отклонения. Для биномиального распределения среднеквадратическое отклонение (σ) можно выразить с помощью приведенного ниже простого уравнения.

n – число двоичных повторений (например, подбрасывания монеты), p – вероятность успеха (выпадение «орлов»), а q – вероятность неудачи (выпадение «решек»). Поскольку p + q = 1, получаем приведенное ниже уравнение. 

А для простого случая, когда p = q (то есть 0,5), оно будет выглядеть указанным ниже образом. 

Для 20 подбрасываний монеты σ = 2,24, а для 100 подбрасываний σ = 5.

Среднеквадратическое отклонение позволяет получить представление о диапазоне большинства возможных результатов. Например, если подбросить монету 100 раз, то чуть более двух третей случаев будут находиться в пределах ±1σ (45–55 «орлов»).

Мы подтвердили первый вывод Бернулли: чем больше размер выборки, тем больше абсолютная вариация. Но что произойдет, если вместо абсолютных показателей мы будем использовать процентное количество «орлов»? Для того чтобы вычислить процентное количество «орлов», необходимо разделить их число на общее количество подбрасываний монеты (n). Аналогичным образом, для того чтобы вычислить среднеквадратическое отклонение процентных показателей, мы также должны разделить эту величину на n. 

Полученный результат для простых пари с вероятностью исходов 50 на 50 указан ниже. 

Если теперь подбросить монету 20 раз, среднеквадратическое отклонение величины процентного количества «орлов» составит 0,11 (или 11 %), но для 100 подбрасываний монеты оно будет равно всего 0,05 (или 5 %).

Закон больших чисел

Согласно закону больших чисел, средний показатель результатов, полученных после проведения ряда экспериментов, будет ближе к ожидаемому значению по мере увеличения числа экспериментов. Что касается подбрасывания монеты, то чем больше раз мы ее подбросим, тем ближе будет процентный показатель количества «орлов» к ожидаемому значению 50 %.

Так как среднеквадратическое отклонение процентных показателей пропорционально квадратному корню из величины количества подбрасываний монеты, две переменные образуют так называемое отношение степенного закона, а среднеквадратическое отклонение варьируется в зависимости от степени или логарифма количества подбрасываний. На графике в двойном логарифмическом масштабе это отношение представлено в виде прямой линии; при каждом возведении n в квадрат значение σ увеличивается в два раза.

Это отношение степенного закона означает, что в пропорциональном смысле уменьшение среднеквадратического отклонения происходит преимущественно в первых нескольких экспериментах. Оно уменьшилось с σ = 0,5 после одного подбрасывания монеты до 0,1 после всего лишь 25 подбрасываний – на четыре пятых до предельного нулевого значения (после бесконечного числа подбрасываний). Таким образом мы можем оценить, как быстро начинает фактически действовать закон больших чисел. Для визуального представления скорости этого процесса необходимо перевести приведенную выше диаграмму в линейный масштаб. 

Выигрыши и проигрыши в ставках

Выигрыши и проигрыши в ставках очень похожи на выпадение «орлов» и «решек» при подбрасывании монеты. Ставка, по сути, представляет собой пари с двумя исходами: она либо выигрывает, либо нет. Таким образом, для простейших историй ставок, где ожидаемая вероятность каждой победы остается неизменной, распределение возможных результатов также будет осуществляться по биномиальному закону.

Яркими примерами пари с двумя исходами служат ставки с форой на рынках американских видов спорта или ставки на футбол с азиатским гандикапом, где применение форы к результатам одной или другой команды превращает ставку в пари с вероятностью исходов 50 на 50 при справедливом коэффициенте 2,00. 

Однако нельзя ограничиваться только теми пари, для которых вероятность исходов равна 50 на 50. Вспомним приведенное выше уравнение для среднеквадратического отклонения процентных показателей. Более типовой вариант, который позволяет учитывать другие возможные ожидаемые процентные показатели выигрышей, выглядит указанным ниже образом. 

Даже в случае с опытными игроками, способными находить ожидаемые значения и получать долгосрочную прибыль, большую часть происходящих событий можно сравнить с беспорядочными помехами достаточно слабого сигнала, что просто объясняется случайной изменчивостью исхода, присущей таким сложным системам, как спортивные состязания.

Конечно, в реальном мире ставок игроки, не обладающие достаточными навыками, не выходят на уровень безубыточности за счет соответствия математическому ожиданию. После размещения 1000 ставок с учетом букмекерской маржи проигрыш, по сути, будет неизбежен.

Представим себе, что в течение длительного времени игрок делает ставки, представляющие собой пари с вероятностью исходов 50 на 50, и выигрывает в 55 % случаев. Ему удалось увеличить ожидаемый процентный показатель выигрышей с 50 до 55 % благодаря своим прогностическим навыкам, но это не означает, что он сможет избежать влияния биномиальных правил дисперсии.

Воспользовавшись приведенным выше уравнением, можно рассчитать, что в его случае среднеквадратическое отклонение процентного показателя выигрышей после 275 ставок должно составить 3 %, то есть примерно две трети от величины вероятности того, что коэффициент выигрышей будет равен 52–58 % для истории ставок такого размера. 

Если мы продолжим делать простые ставки с одной и той же ожидаемой вероятностью выигрыша (коэффициентом) для каждой ставки, мы сможем использовать биномиальное распределение для того, чтобы достаточно точно определить вероятность любого события (в Excel это можно сделать с помощью функции BINOMDIST).

Я проиллюстрировал это ниже для нескольких историй ставок. В первой истории всего 20 ставок. Численные значения на графике представляют суммарную вероятность того, что фактический процентный показатель выигрышей будет выше определенного значения. Например, если долгосрочное математическое ожидание равно 20 %, вероятность выигрыша для более шести ставок (30 %) составляет 9 %. Вероятность выигрыша в 20 случаях из 20 равна примерно 1 %, если обычно вы ожидаете, что выиграете в 16 случаях. 

В общих чертах, красные и зеленые области обозначают зоны убытков и прибылей соответственно при условии, что используются справедливые коэффициенты. Неудивительно, что если ваш показатель количества проигрышей по ставкам превысит ожидаемое значение, вы понесете финансовые убытки, однако, как вы может видеть, результативность, которая была бы значительно ниже обычных показателей, не является типичным явлением.

Даже после всего лишь 20 ставок типа «один к одному» в трех четвертых случаев вы сможете получить выигрыш по девяти ставкам или больше. Закон больших чисел на вашей стороне и защищает вас от угрозы увеличения процентной доли убытков.

Однако есть и другое следствие. Если вы выигрываете чаще, чем ожидаете, вы будете получать прибыль, но вряд ли она будет большой. Даже если вы являетесь опытным игроком, способным в долгосрочной перспективе получать выигрыш по 55 % ставок типа «один к одному», вероятность того, что из 20 сделанных вами ставок 14 или более окажутся выигрышными, составляет всего 13 %. В этом случае закон больших чисел действует против вас и мешает достичь увеличения процентной доли прибыли. 

Желтая область – это область безубыточности игроков. Поразительно, насколько незначительна по своему размеру область, которая является границей между чрезмерным везением и невезением и к которой относится большая часть результатов ставок.

Посмотрите, что происходит с желтой областью после 100 ставок.

Шансы на то, что математическое ожидание значительно превзойдет долгосрочное ожидание, существенно сократились. А после 1000 ставок?

Конечно, в реальном мире ставок игроки, не обладающие достаточными навыками, не выходят на уровень безубыточности за счет соответствия математическому ожиданию. После размещения 1000 ставок с учетом букмекерской маржи проигрыш, по сути, будет неизбежен. Закон больших чисел стал причиной вашего краха. Однако в случае с опытными игроками картина будет совершенно иной.

Если вы заключаете 1000 пари типа «один к одному» и ожидаете получить выигрыш в 55% случаев, то как минимум 50% ставок почти всегда будут выигрышными. Если букмекерская маржа меньше величины разницы между ожидаемым вами процентным показателем выигрышей и букмекерским процентным показателем выигрышей, ваши шансы на получение долгосрочной прибыли достаточно высоки.

«Разница между процентным показателем количества ставок на спорт, выигранных успешными игроками, и процентным показателем количества ставок, выигранных хроническими неудачниками, относительно невелика».

Теперь и вы можете видеть, насколько она мала. Закон больших чисел действительно может стать для делающего ставки игрока как благословением, так и проклятием. 

Очевидно, что ставки большинства людей не так просты, как предполагается в этой статье, при том что игроки выбирают различные коэффициенты и ставят разные суммы денег. Для их анализа нужно использовать более изощренные математические расчеты или обратиться к технике моделирования по методу Монте-Карло, если эта задача становится слишком сложной. 

Кроме того, без внимания осталась интересная тема дисперсии фактических показателей прибылей и убытков, затронутая мной в предыдущих статьях (чем выше коэффициент, тем больше дисперсия значений прибыли и убытков).

Тем не менее цель этой статьи состояла в том, чтобы проиллюстрировать скорость и степень проявления закона больших чисел и показать, насколько тонка грань между ожидаемыми и реальными результатами, а также областями везения и невезения.

Проверка достоверности историй ставок

В заключение позвольте показать вам, как можно использовать информацию о среднеквадратическом отклонении фактических процентных показателей выигрышей для проверки достоверности историй ставок, заявленных консультационными службами в области размещения ставок, которые желают продать вам свои прогнозы. 

Рассмотрим пример компании, специализирующейся на продаже прогнозов по ставкам, которая в своей «прогностической деятельности» использует «прямой и честный подход». Очевидно, что специалистам, работающим в этой компании, известно о явлении случайности в спортивных ставках, поскольку они сообщают своим клиентам о том, что понятие гарантированного выигрыша не существует и что «элемент везения присущ любому соревнованию». Но им, по-видимому, удалось подчинить ее изменчивую природу, так как, если верить опубликованной информации, 76% прогнозов компании более чем для 11 000 ставок оказались точными.

Согласно закону больших чисел, средний показатель результатов, полученных после проведения ряда экспериментов, будет ближе к ожидаемому значению по мере увеличения числа экспериментов.

В ходе более подробного анализа опубликованных на сегодняшний день результатов действительно было установлено, что коэффициент выигрышей по 10 312 прогнозам составляет 75 % (отсутствие нескольких советов очевидно). Хотя есть несколько пари с низкими и высокими коэффициентами, коэффициенты 94% ставок находятся в переделах от 1,67 и 2,50 (предполагаемые вероятности выигрышей 60 и 40 %). Средняя предполагаемая вероятность выигрыша для всех прогнозов в выборке составляет 52,2%, но после исключения букмекерской маржи вероятность любого исхода пари составит 50 на 50, так что это не имеет большого значения.

Разбиение результатов на 56 помесячных выборок (с марта 2014 г. по октябрь 2018 г.) позволяет узнать, что среднемесячное общее число прогнозов равно 184, причем более чем в половине случаев это количество варьировалось от 140 до 224. Если предположить, что ожидаемый коэффициент выигрышей в долгосрочной перспективе составляет 75%, каким должно быть расхождение ежемесячных процентных показателей выигрышей? Воспользовавшись приведенным выше уравнением для вычисления ожидаемого среднеквадратического отклонения процентных показателей выигрышей для выборки из 184 прогнозов, мы получим величину, равную чуть более 3%. Для примерно двух третей выборок этот показатель должен составлять приблизительно 72% и 78%, а для 95% – приблизительно 69% и 81%.

На самом же деле, среднеквадратическое отклонение ежемесячных процентных показателей выигрышей составляет 8,6%, и этот показатель намного выше, чем должен быть. Менее 40 % значений лежат в пределах ±1σ от цифры 75% и чуть более половины – в пределах ±2σ. Эта величина отклонения просто слишком большая. Даже если бы мы предположили, что каждый месяц было сделано всего 32 прогноза (минимальное ежемесячное количество), ожидаемое среднеквадратическое отклонение все равно бы составило всего лишь 7,7%. 

Ожидаемое среднеквадратическое отклонение ежемесячных процентных показателей выигрышей должно составлять 8,6% для выборки, включающей около 25 прогнозов, но не 184. В декабре 2014 г. был сделан 151 прогноз, а средняя предполагаемая вероятность выигрыша составила 51,4%. Ожидать, что процентный показатель выигрышей составит 46,4%, можно раз в миллион миллиардов лет. В октябре 2015 г. было сделано 168 прогнозов (средняя предполагаемая вероятность выигрыша 48,5%), из которых 154 (или 91,7%) оказались выигрышными. Обычно опытный типстер может достичь такого результата примерно один раз в миллион лет.

Догадайтесь сами, о чем могут свидетельствовать полученные результаты. Возможно, это аргумент в пользу того, что уровни навыков могут резко колебаться в течение коротких периодов времени. Возможно, это аргумент в пользу чего-то другого. Однако если учитывать сказанное мной ранее о пределах ожидаемой прибыли, я уверен, что вы уже знаете, что коэффициент успешности прогнозов 76% – это то, над чем можно посмеяться и о чем стоит забыть.

По материалам БК Pinnacle