Применение Критерия Келли в ставках

В беттинге важна не только грамотная стратегия ставок, но и точный метод управления денежными средствами. Только при сочетании этих двух факторов возможно получение прибыли на длинной дистанции. Лучшим таким методом большинство специалистов считают критерий Келли. Рассмотрим, как он работает, и какие с ним связаны риски.

Что представляет собой критерий Келли?

Критерий Келли – это средство расчета объема собственных средств, используемых при размещении ставки на результат с коэффициентами, превышающими ожидаемые показатели, благодаря которому объем ваших собственных средств увеличивается в геометрической прогрессии.

Критерий был разработан Джоном Келли во время работы в лабораториях AT&T's Bell Labs в 1956 году. Он представляет собой экономически обоснованный и математически точный способ расчета оптимального размера ставки, позволяющий максимизировать общее увеличение банкролла путем учета ожидаемой величины прибыли и связанных с ней рисков. Это можно выразить следующей простой формулой:

Процент ставки по Келли = Преимущество – 1 / Коэффициент – 1

Под преимуществом мы будем понимать разницу, которая отличает (или, по крайней мере, вы считаете, что она отличает) ваши коэффициенты от коэффициентов самого букмекера. Например, если вы считаете, что действительные коэффициенты на выбранный исход равны 2,00 (вероятность успеха – 50 %), но букмекер предлагает вам 2,20, ваше преимущество будет составлять 2,20/2,00 = 1,10.

«Преимущество» – это просто еще один из способов описания математического ожидания. Коэффициенты в приведенном выше уравнении должны быть записаны в десятичной системе счисления. Таким образом, для этого примера ваш процент ставки по Келли будет равен 0,1 или же 10 %.

Критерий Келли является примером метода пропорционального расчета ставок, при котором размеры ставок пропорциональны размеру вашего существующего банкролла и растут или снижаются вместе с тем, как увеличивается или уменьшается ваш банкролл. Этим он разительно отличается от стратегии размещения ставок одинакового размера, при которой их величина фиксируется на предопределенном уровне.

Другой особенностью критерия Келли является тот факт, что он учитывает размер полученного вами преимущества и величину коэффициентов ставок. Чем больше ваше преимущество и (или) чем меньше коэффициенты ставок, тем большую величину будет составлять ставка, которой вы можете рискнуть.

Понятно, что существуют некоторые проблемы с расчетом процента ставки по Келли при размещении ставок на более чем один исход или матч одновременно, но они решаемы. Впрочем, в оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только упрощенную форму критерия Келли, подходящую для размещения единичных ставок в каждый отдельный момент времени.

Возможные риски

Критерий Келли представляет собой стратегию пропорционального управления средствами, и должно быть довольно очевидным, что при его применении технически невозможно разориться. Чем больше вы проигрываете, тем меньшего размера ставки вы размещаете, но теоретически вы никогда не достигнете нуля. 

На практике же, разумеется, существует такой предел, при котором понесенные вами убытки будут считаться неприемлемыми. Исходя из этого, более правильным подходом, возможно, будет попытка учета разницы в размере вашего банкролла и того, насколько ваше желание рисковать способно заставить вас смириться с этими убытками.

Ранее говорилось, что проблема использования критерия Келли заключается в том, что вне зависимости от расчета вашей ожидаемой окупаемости, отклонение будет абсурдно и «неинвестируемо» высоким. Стоит задуматься о том, что при коэффициентах, величина которых составляет 2,00, абстрактный игрок будет выигрывать всего лишь 52 % ставок. В соответствии с Келли рекомендуемый показатель ставки равен 4 %. 

Рассмотрев серию из 250 ставок, исследователи обнаружили, что есть более чем 10%-й шанс, что к концу серии ваш банкролл уменьшится на величину, превышающую 40 %. Прав ли он? 

Вероятно, да. Используя эти же параметры для серии из 10 000 ставок в имитационном моделировании по методу Монте-Карло, мы смогли увидеть, что 14 % банкроллов снизились до уровня в 60 % от начальной величины. Для стратегии размещения ставок с одинаковым размером этот показатель составлял всего 9 %; каждая из 250 ставок была ограничена четырьмя единицами (начальный размер банкролла составлял 100 единиц).

Приведенная ниже Таблица 1 наглядно показывает более широкое сравнение ставок по критерию Келли и ставок с фиксированным размером. Несмотря на то, что пропорциональное размещение ставок лучше подходит для оптимизации прибыльности (в этой имитационной модели средняя величина итоговых банкроллов для критерия Келли и для ставок с фиксированным размером составляла 149 и 140 единиц соответственно), при его использовании вам понадобится гораздо больше времени на восстановление после проигрышной серии ставок.

Большая пропорциональная доля убытков в итоговых банкроллах является следствием большего разнообразия банкроллов, привносимого методом пропорционального размещения ставок. Почти четыре из десяти этих симуляций завершились убытками для размещения ставок в соответствии с критерием Келли, и только одна из четырех моделей ставок с фиксированным размером показала такие же результаты.

Как изменятся риски, если величина нашего преимущества возрастет? Проведя симуляцию заново, на этот раз увеличив вероятность выигрыша для всех ставок «один к одному» до 54 %, процент ставок по Келли составил 8 %. Очень немногие игроки смогли бы достичь таких показателей в долгосрочной перспективе.

Конечно, с удвоенным преимуществом или математическим ожиданием для каждой ставки предполагаемая прибыльность критерия Келли, сравниваемого со стратегией размещения фиксированных ставок, становится гораздо привлекательнее (средние итоговые банкроллы составляют 494 и 260 единиц соответственно). К сожалению, это объясняется во многом благодаря тому, что степень результативности игры подвергается значительно большей изменчивости.

Средний или ожидаемый итоговый банкролл становится выше из-за влияния на него небольшого числа очень крупных банкроллов. Тем не менее, по сравнению со стратегией размещения фиксированных ставок мы имеем дело с гораздо большим числом банкроллов с незначительным ростом или даже с проигрышными банкроллами.

Медианный размер итогового банкролла составляет всего 223 единицы. Вероятность потери 40 % вашего состояния после 250 размещенных ставок «один к одному» с равной 8 % величиной учитываемого критерием Келли преимущества все еще приводит нас к показателю в 14 % (Таблица 2). При всего 8%-й величине доходности такие рискованные вложения неприемлемы.

Правильно ли мы считаем величину преимущества?

Приведенные здесь имитационные модели предполагают, что мы точно знаем собственные шансы на победу и, следственно, нам известно имеющееся у нас преимущество над коэффициентами букмекера. Тем не менее моделирование ставок на исходы спортивных соревнований разительно отличается от подсчета карт в блэкджек.

В отличие от игр в казино, которые основаны на известных математических алгоритмах, «знания» действительных вероятностей в комплексных системах, подобных футбольному матчу, достичь невозможно. Не совсем понятно, какие сложности для успешности ставок, размещенных в соответствии с критерием Келли, представляет отсутствие точных знаний об имеющемся у игрока преимуществе над коэффициентами букмекера. Мы решили попытаться выяснить степень воздействия подобного отсутствия информации.

Если вы считаете, будто 52 % ваших ставок «один к одному» принесут вам победу, но на самом деле выигрышными являются всего 49 % из них, в долгосрочной перспективе вы потеряете свои деньги, вне зависимости от того, какой из методов размещения ставок вы используете. Куда больший интерес для нас представляет другой вопрос: увеличит ли степень связанных с применением критерия Келли расхождений и рисков отсутствие точной информации об имеющемся для каждой отдельной ставки преимуществе?

Продолжительная история размещения ставок поможет вам в определении того, чему может равняться средняя величина вашего преимущества. Если вы получили доход в 105 000 рублей от 1000 ставок размером в 100 рублей – вы можете обоснованно предполагать, что средняя величина вашего преимущества составляет 5 %. Другим способом оценки преимущества может стать сравнение с итоговыми коэффициентами рынка тех коэффициентов, с которых вы размещаете свои ставки.

Если вы делаете ставку с коэффициентом 2,10, а итоговая ставка БК Пиннакл равна 2,00, проводимый анализ данных говорит о том, что у вас есть 5%-е преимущество (без учета маржи на ставку). Но этот анализ был основан на исследовании большого количества футбольных матчей. Пускай мы и можем учитывать среднюю величину преимущества, но нам не следует предполагать, что она остается постоянной для каждой размещаемой ставки. Учитывая то, что на исход спортивных состязаний влияет слишком много различных неопределенных факторов, весьма резонно ожидать изменчивости имеющегося преимущества.

Выполним имитационное моделирование по методу Монте-Карло еще для 250 ставок «один к одному». На этот раз, впрочем, вместо того, чтобы фиксировать вероятность выигрыша на уровне 52 % для каждой ставки, мы позволим ей изменяться в соответствии с нормальным распределением вероятностей выигрыша. Средняя величина все так же равнялась 52 %, но отдельные значения отклонялись в обе стороны. Некоторые были выше, другие – ниже.

Мы применили стандартное отклонение величиной в 5 %: две трети значений попадали в диапазон от 47 % до 57 %, и 95 % значений входили в интервал между 42 % и 62 %. На самом деле, практически треть из них оказались ниже 50 %, и по этой причине они заключали в себе отрицательное математическое ожидание. 

Полученные результаты были ошеломительными. Несмотря на то, что треть ставок несла в себе отрицательное математическое ожидание, связанные с размещением ставок по критерию Келли риски остались практически неизменными. Говоря в общем, это означает, что пока вы можете точно представлять величину вашего преимущества в среднем, вам совершенно необязательно знать ее для каждой ставки отдельно. Результаты отражены в Таблице 3:

Здесь критерий Келли 1 отражает точное преимущество, известное для каждой отдельной ставки, а критерий Келли 2 – известное среднее преимущество, но не точное преимущество для каждой ставки.

Для 230 (или же для 92 %) из 250 ставок вероятность выигрыша была установлена на уровне 49 %, что практически соответствует марже ставок БК Пиннакл для популярных двух- или трехсторонних рынков. Оставшимся 20 ставкам была присвоена вероятность выигрыша величиной в 86,5 %, что позволило нам сохранить среднюю вероятность выигрыша для 250 ставок неизменной: она все так же составляла 52 %. Результаты нисколько не изменились.

Разумеется, в реальности практически невозможен такой исход, при котором игрок, неспособный получить никакого выигрыша в 92 % своих ставок внезапно каким-то образом обнаружит перспективу получения огромной прибыли в оставшихся 8 %, но проведенное моделирование ситуации, тем не менее, еще раз подтверждает высказанное ранее утверждение: для того чтобы определить размер ставки в соответствии с критерием Келли и эффективно управлять связанными с этим рисками, нам необходимо точно знать только среднюю величину имеющегося преимущества.

Для многих игроков куда более значимой проблемой является попытка найти хотя бы какое-нибудь преимущество. Слишком уж просто обмануться обычным везением и иллюзорными причинно-следственными связями, которые могут заставить игроков поверить в то, что их навыки находятся на гораздо более лучшем уровне, чем это есть на самом деле.

Если вы выиграете в 49 % случаев, разместив ставки «один к одному», то стратегия применения критерия Келли величиной в 4 % начнет подводить вас гораздо чаще. Вероятность несения убытков после размещения 250 ставок «один к одному» будет составлять три четверти, в то время, как эта же величина для размещения ставок фиксированного размера будет составлять всего три пятых. Разница весьма существенна.

Аналитические материалы предоставлены БК Pinnacle.